abril 05, 2023

Determinación de máximos y mínimos

Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio. Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

1 $f(x)=x^{3}-3x+2$

Solución Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

$\\f(x)&=&x^3-3x+2 \\ f^\prime(x)&=&3x^2-3\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x$

Ahora encontremos los puntos críticos $x^*$ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación $f^\prime(x)=0$ , es decir $3x^2-3=0$ . Las soluciones de esta ecuación son $x_1=1, x_2=-1$ .

Finalmente se evalúa $f^{\prime \prime}(x)$ en los puntos críticos $x^*$ y determinar si $f^{\prime \prime}(x^\ast)>0$ o $f^{\prime \prime}(x^\ast)<0$ .

Tenemos entonces que

$\\f^{\prime \prime}(x_1)=6x_1=6(1)=6>0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=6x_2=6(-1)=-6<0$

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función $f(x)$ tiene un mínimo local en $x=1$ y un máximo local en $x=-1$ . Los valores correspondientes de la función son: